1 . 已知椭圆经过点，且焦距，线段分别是它的长轴和短轴．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点．
①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q；
②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q．

2 . 已知点，在椭圆：上，其中为椭圆的离心率，椭圆的右顶点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线过椭圆的左焦点交椭圆于，两点，直线，分别与直线交于，两点，求证：.

3 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为，且点 在椭圆C上．

求椭圆C的方程；
设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．

4 . 如图所示，已知、、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的右端点，过椭圆中心，且，．

(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上是否存点，使得?若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；
(3)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条线，切点分别为，，若直线 在轴、轴上的截距分别为，，证明：为定值.

5 . 已知椭圆的一个焦点为且过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的上下顶点分别为是椭圆上异于的任一点，直线分别交轴于点，若直线与过点的圆相切，切点为．
证明：线段的长为定值，并求出该定值．