1 . 如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．

   

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：；
(3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值．

2 . 已知椭圆过点，且离心率为
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.

3 . 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.

4 . 已知椭圆经过点和点．
(1)求椭圆的标准方程和离心率；
(2)若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．

5 . 已知椭圆过点，椭圆的左、右顶点分别为，点P坐标为，成等差数列．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若对斜率存在的任意直线l与椭圆恒有M，N两个交点，且．证明：直线l过定点．

6 . 椭圆：的离心率为，且过点，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)圆的一条切线与椭圆交于、两点.
①证明；
②求的取值范围.

7 . 已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得.若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于A，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过轴上一定点.

8 . 已知过点的椭圆的离心率为，其左右顶点分别是､，直线与椭圆交于､两点，且､都不在直线上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线､的斜率分别是､，且，求证：直线过定点.

9 . 已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.

10 . 已知椭圆的左右焦点分别为，左顶点为，且，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，直线别与轴交于点，求证：在轴上存在点，使得无论非零实数怎样变化，以 为直径的圆都必过点，并求出点的坐标．