1 . 已知椭圆C：过点，且它的长轴长是短轴长的3倍．斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示，点P在直线l的上方）．

(1)求椭圆C的方程；
(2)试判断直线PA，PB的斜率和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

2 . 已知椭圆上有点，左、右焦点分别为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点．

3 . 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：为定值．

4 . 已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值

5 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点满足，且的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设E､F是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，直线OE的斜率为，直线OF的斜率为，求当为何值时，直线EF与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程.

6 . 已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由．

7 . 已知椭圆C：的短轴长为2，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点在椭圆C上，且直线PA与PB关于直线对称.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求的面积S的最大值.

8 . 已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点.
   
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

9 . 已知椭圆：过点且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，分别为的左右顶点，为直线上的任意一点，直线，分别与相交于、两点，连接，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标.

10 . 已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，的周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．