1 . 已知椭圆：的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于点（点与点不重合）.设的中点为，连接并延长交于点.若恰为的中点，求直线的方程.

2 . 如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

   

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

3 . 已知椭圆过点，左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，动点在直线上，直线的斜率分别为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)问是否存在实数，使得恒成立，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，与交于点，记的率分别为，试探究的关系，并证明.

5 . 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与C相交于A，B两点，若直线AF，BF的倾斜角互补，求面积的最大值．

6 . 已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过直线上一点作椭圆的切线，切点为，，证明：直线过定点．

7 . 已知A，B分别为椭圆的左右顶点，点，在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于C，D两点，若直线AC与BD相交于点，求证：点在定直线上．

8 . 已知椭圆E：（）与y轴的一个交点为，离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆E交于点B，过点A与l垂直的直线与直线交于点C.若为等腰直角三角形，求直线l的方程.

9 . 已知椭圆C：（）左，右焦点分别为，，离心率，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若A，B为椭圆C上的两个动点，过且垂直x轴的直线平分，证明：直线过定点．

10 . 已知椭圆：，离心率为，且经过点.
(1)求C的方程：
(2)过点M且斜率大于零的直线与椭圆交于另一个点N（点N在x轴下方），且的面积为3（O为坐标原点），求直线的方程.