1 . 已知椭圆C：的短轴长为2，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点在椭圆C上，且直线PA与PB关于直线对称.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求的面积S的最大值.

2 . 已知椭圆过点，
（1）求的方程；
（2）记的左顶点为，上顶点为，点是上在第四象限的点，，分别与轴，轴交于，两点，试探究四边形的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

3 . 已知椭圆：的右焦点为，点在上，为椭圆的半焦距．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若经过的直线与交于，（异于）两点，与直线交于点，设，，的斜率分别为，，，求证：．

4 . 已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆经过点，．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设过点的直线与交于，两点，点在轴上，且，是否存在常数使？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程．

6 . 已知椭圆的离心率为，且过点，其下顶点为点．若斜率存在的直线交椭圆于两点，且不过点，直线分别与轴交于两点．
（1）求椭圆的方程．
（2）当的横坐标的乘积是时，试探究直线是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过，请说明理由．

7 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上不同于，的动点，直线，的斜率，满足，的最小值为-4.
（1）求的方程；
（2）为坐标原点，过的两条直线，满足，，且，分别交于，和，.试判断四边形的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.

8 . 已知椭圆经过如下四个点中的三个，，，，.
（1）求椭圆的方程;
（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆经过椭圆的右顶点，求面积的最大值.

9 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的方程；
（2）点在上，且，证明:直线过定点.