1 . 已知点D为圆O：上一动点，过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A、B，连接BA并延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C ．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线l与曲线C交于不同于右顶点Q的M，N两点，且，求的最大值．

2 . 设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.
(1)求动点D的轨迹E的方程；
(2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两个不同的点A、B，点T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.

3 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图1）
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图2）.

(1)已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立坐标系，求折痕所围成的椭圆（即图1中点的轨迹）的标准方程.
(2)经过椭圆的左焦点作直线，且直线l交椭圆于两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由.

4 . 已知
（1）求的轨迹
（2）过轨迹上任意一点作圆的切线，设直线的斜率分别是，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，是否是定值，请说明理由，并加以证明.