1 . 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．

3 . 已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．

4 . 已知椭圆：()的离心率为，且长轴长为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点(不与椭圆的顶点重合)，以为直径的圆过椭圆的上顶点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标.

5 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴的一个端点的坐标为.
（1）求椭圆的方程.
（2）点为椭圆的右焦点，过上一点的直线与直线交于点为，直线交于另一点，设与交于点.证明：
①；
②为线段的中点.

6 . 椭圆C：（）的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线PM交C的长轴于点，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线、的斜率分别为、，若，试证明为定值，并求出这个定值．

7 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.

8 . 直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为1且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于P₁、P₂两点，P是椭圆上任意一点，若（λ，μ∈R），证明：λ²+μ²为定值.

9 . 已知椭圆E：（）的离心率为，F是E的右焦点，过点F的直线交E于点和点（）.当直线与x轴垂直时，.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l：交x轴于点G，过点B作x轴的平行线交直线l于点C.求证：直线过线段的中点.

10 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过定点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点.证明：以为直径的圆过椭圆的右顶点.