1 . 已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点，椭圆的上､下顶点分别为，点在椭圆上且异于点，直线与直线分别交于点.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)当点运动时，以为直径的圆是否经过轴上的定点？请证明你的结论.

2 . 已知双曲线：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点．定义：．
(1)若点的纵坐标为，求的值；
(2)设，点的纵坐标为，试将表示成的函数并求其定义域；
(3)证明：存在常数、，使得．

3 . 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由．

5 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线.
（1）设F是的左焦点，E是右支上一点. 若，求过E点的坐标；
（2）设斜率为1的直线m交于P、Q两点，若m与圆相切，求证：；

6 . 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F．

（1）求C的方程，并求其准线l的方程；
（2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点，，直线OA与准线l交于点N．过点A作l的垂线，垂足为M．证明：为定值，且四边形AMNB为梯形．

7 . 已知双曲线的标准方程为 ．
（1）写出双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点、的坐标；
（2）若点在双曲线上，求证：．

8 . 已知曲线：，曲线：．曲线的左顶点恰为曲线的左焦点．

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设为曲线上一点，过点作直线交曲线于两点．直线交曲线于 两点．若为中点，
求证：直线的方程为 ；
求四边形的面积．