1 . 已知双曲线的离心率为，记双曲线C与圆的交点为，，，（逆时针排列），且矩形的面积为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，直线交双曲线C的左支于A、B两点，若△PAB的外接圆过坐标原点O，求m的值．

2 . 设，为双曲线：的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线C的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

3 . 已知双曲线的离心率是，实轴长是8.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.

4 . 双曲线的左右焦点为，是双曲线上一点，满足，直线与圆相切，求双曲线的离心率.

5 . 已知抛物线的焦点也是椭圆：的右焦点，而的离心率恰好为双曲线的离心率的倒数.
(1)求椭圆的方程；
(2)各项均为正数的等差数列中，，点在椭圆上，设，求数列的前项和.

6 . 设椭圆：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于，两点，（）为椭圆上一点，求面积的最大值．

7 . 如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点F垂直于的直线分别交于A，B两点．又已知该双曲线的离心率．

（1）求证：，依次成等差数列；
（2）若，求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度．