1 . 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.其中，双曲余弦函数：，双曲正弦函数：，双曲正切函数：.
(1)写出函数的单调区间，并求它的值域；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知，，，点为的内心，求点的横坐标.

2 . 已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，．
(1)求的标准方程；
(2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值．

3 . 已知两个定点，，动点M满足直线与的斜率之积为定值.
(1)求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；
(2)若，设直线l与曲线C相交于E，F两点，直线OE，l，OF的斜率分别为，k，（其中），的面积为S，以OE，OF为直径的圆的面积分别为，.若，k，恰好构成等比数列，求的取值范围.

4 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.
(1)求的面积；
(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

5 . 已知双曲线的中心为原点，左右焦点分别是，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
(1)求实数的值；
(2)求证：直线与直线的斜率之积是定值，并求出此定值；
(3)点的纵坐标为1，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足，试问：点是否恒在一条定直线上，若是，请求出这条定直线，否则，请说明理由