1 . 已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.
(1)求抛物线的方程.
(2)证明：
(3)设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求.

2 . 已知抛物线的焦点为，过焦点垂直于的直线与抛物线交于，两点，.
(1)求的方程；
(2)点是准线上任一点，过作抛物线的两条切线，，切点分别为，.设，，的斜率分别为，，，证明：.

3 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点N，交于点M，求证：为定值．

4 . 抛物线焦点为，过斜率为的直线交抛物线于，两点，且
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过直线上一点作抛物线两条切线，切点为，，猜想直线与直线位置关系，并证明猜想．

6 . 已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.

7 . 已知抛物线的焦点为，是上一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标.