1 . 已知且满足的动点的轨迹为．

(1)求曲线的方程；
(2)如图，过点的斜率大于零的直线与曲线交于、两点，，直线交曲线于另外一点，证明直线过定点．

2 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心 Q的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、 B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与 的斜率依次为、，若，求证：直线 MN恒过定点.

3 . 在平面直角坐标系中，已知，若线段FP的中垂线l与抛物线C：总是相切．
（1）求抛物线C的方程；       
（2）若过点Q（2，1）的直线l′交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线相交于点A．分别与y轴交于点B，C．
（ i）证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标 ；     
（ ii）求的外接圆面积的最小值．

4 . 已知点到直线的距离比它到点的距离大1.
（1）求点的轨迹的方程.
（2）设点，，，过作曲线的切线，切点为，延长（为坐标原点）交直线于点，且.
①求证：直线经过定点，并求出点的坐标.
②求的最大值.

5 . 已知抛物线的准线为，焦点为F，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点O作倾斜角为的直线，交于点A，交于另一点B，且AO=OB=2.

（1）求和抛物线C的方程；
（2）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；
（3）过上的动点Q向作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标.

6 . 已知抛物线的焦点到直线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，过点作两条直线分别交抛物线于和，过点作垂直于轴的直线分别交和于点.求证：．

7 . 椭圆的长轴长为，焦距为，、分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点.
（1）求椭圆的标准方程和动点的轨迹的方程；
（2）过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求△的面积；
（3）设轨迹与轴交于点，不同的两点、在轨迹上，满足，求证：直线恒过轴上的定点.