1 . 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右两个焦点分别为、，P在椭圆C上运动．
(1)若的最大值为120°，求a、b的关系式；
(2)若点P是椭圆上位于第一象限的点，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线，若直线，的交点Q在椭圆C上，求点P的坐标（用a，b表示）．

2 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．

3 . 已知椭圆的离心率为，C的四个顶点围成的四边形面积为．
(1)求C的方程；
(2)已知点，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且，证明：l过定点．

4 . 已知椭圆（a>b>0）的离心率为，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B_1、B₂，且MB₁⊥MB₂.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点.试问轴上是否存在定点P，使PM平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

5 . 已知点，点Р是圆C：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．
(1)求点E的轨迹方程；
(2)若直线与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点О总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

6 . 已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F₁（﹣，0），点在椭圆上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程.

7 . 已知椭圆的短轴长为，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若分别是椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值．

8 . 已知椭圆，直线分别与轴轴交于两点，与椭圆交于两点.
（1）若，求直线的方程;
（2）若点的坐标为求面积的最大值.

9 . 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

10 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，以为直径的圆：过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率大于0的直线与的另一个交点为，与直线的交点为，过点且与垂直的直线与直线交于点，求面积的最小值.