1 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为是椭圆在第一象限上的点，满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线上的一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，证明：.

2 . 在平面直角坐标系中，的三个顶点的对边分别为，已知成等差数列，且，．
(1)求顶点的轨迹的方程；
(2)设过点的直线与曲线相交于两点，求面积的最大值（为坐标原点）．

3 . 已知椭圆的离心率为，焦距为2，，分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上异于长轴端点的一个动点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为P，Q．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点M在x轴上方，，求直线MP的方程；
(3)设，的面积分别为，，求的取值范围．

4 . 在平面直角坐标系中，已知点，，，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，，，设直线，，的斜率分别为，，．证明：为定值．

5 . 如图，已知椭圆经过点，离心率．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上任意点轴上一点，若的最小值为，求实数的取值范围；
(3)设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点，记的斜率分别为，求证:成等差数列.

6 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．

       

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求以为直径的圆的方程；
(3)直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．

7 . 已知椭圆
(1)若双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆C有公共焦点，求此双曲线的方程；
(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．

8 . 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.
(1)求M的轨迹；
(2)过坐标原点的直线交M的轨迹于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交M的轨迹于点G.
①证明：是直角三角形；
②求面积的最大值.

9 . 已知椭圆，、分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的任一点，的周长是，当轴时，.

(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于另一点．已知被圆截得的弦长为，求的面积．

10 . 已知，分别为椭圆E：的左右焦点，其离心率，O为坐标原点，过O作直线l交椭圆于A，B两点，的面积最大值为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若过点的直线交椭圆E于C，D两个不同的点，且．求的取值范围．