1 . 设、分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知椭圆的焦点与双曲线的左右顶点重合，且离心率为．直线交椭圆于、两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围．

2 . 已知椭圆经过．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．

3 . 已知直线l：与椭圆C：交于A，B两个不同的点，O为坐标原点，M为y轴负半轴上的点，且.
(1)求k的取值范围；
(2)若点M恰好在AB的垂直平分线上，求此时k的值.

5 . 已知椭圆C：，，且椭圆C右焦点为，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线l交椭圆C于A，B两点，若，求直线l的方程.

6 . 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，,求直线方程；
(3)椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

7 . 设椭圆：的左､右焦点分别为，，下顶点为，线段(为坐标原点)的中点为.若抛物线：的顶点为，且经过点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点关于点的对称点为，过点作直线与椭圆交于点，，且的面积为，求直线的斜率.

8 . 已知椭圆E：，P为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点P的直线l₁，l₂与椭圆E的另外一个交点分别为A，B，线段PA的中点为M，线段PB的中点为N.
（1）若直线OM的斜率为，求直线l₁的方程；
（2）若OM⊥ON，证明：直线AB过定点.

9 . 已知桶圆的上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，四边形的面积为，直线的斜率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆上存在异于顶点的点，其中，使得，且，求直线的方程．

10 . 如图所示，已知、分别是椭圆：的左、右顶点，点是椭圆上位于轴上方的动点，点与点关于轴对称，直线，与轴分别交于，两点.

（1）求线段的长度的最小值；
（2）当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为1？若存在，确定点的个数，若不存在，请说明理由.