1 . 在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为.
(1)求，的方程：
(2)设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明；
(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.

2 . 我们把椭圆和称为“相似椭圆”“相似椭圆”具有很多美妙的性质．过椭圆上任意一点P作椭圆的两条切线，切点分别为A、B，切线、与椭圆另一个交点分别为Q、R．
(1)设，证明:直线是过A的椭圆的切线；
(2)求证：点A是线段的中点；
(3)是否存在常数，使得对于椭圆上的任意一点P，线段的中点M都在椭圆上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点（）在椭圆上，若点，分别在直线，上.
(1)求的值；
(2)连接并延长交椭圆于点，求证：，，三点共线.

4 . 在xoy坐标平面内，已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与相交于A、B两点．

(1)记d为A到直线的距离，当变化时，求证：为定值；
(2)当时，求的值；
(3)过B作BM⊥x轴，垂足为M，OM的中点为N，延长AN交于另一点P，记直线PB的斜率为，当取何值时，有最小值？并求出此最小值．

5 . 已知椭圆,的离心率相同.点在椭圆上，、在椭圆上.

(1)若求点的轨迹方程；
(2)设的右顶点和上顶点分别为、，直线、分别是椭圆的切线，、为切点，直线、的斜率分别是、，求的值；
(3)设直线、分别与椭圆相交于、两点，且若是中点，求证：、、三点共线（为坐标原点）.

6 . 已知动点P到直线的距离是P到点距离的2倍，点P的轨迹记为C．
(1)证明：存在点，使得为定值．
(2)过点F且斜率的直线l与C交于A，B两点，M，N为x轴上的两个动点，且，，若，求k．

7 . 如图所示， 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．

(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点， 求证：的充要条件为．

8 . 已知椭圆，过点直线，的斜率为，，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且，，，任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线交直线，于，.

(1)求证：；
(2)的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

9 . 过的直线与椭圆交于P，Q，过P作轴且与椭圆交于另一点N，F为椭圆的右焦点，若，求证：

10 . 已知，，动点满足，轴于点，，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，直线交轴于点，轴，证明：.