1 . 在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过，

(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在．证明：为定值．

3 . 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．

4 . 已知椭圆：，过点和点.
(1)求的方程；
(2)若圆的切线与交于点，，证明：.

5 . 已知椭圆的右焦点为F，且经过点，过F的直线与椭圆E交于C，D两点，当轴时，．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的右顶点为A，若椭圆上的存在两点P，Q，且使成立，证明直线PQ过定点．

6 . 已知椭圆，斜率为2的直线与椭圆交于两点.过点作的垂线交椭圆于另一点，再过点作斜率为的直线交椭圆于另一点.
(1)若为该椭圆的上顶点，求点的坐标；
(2)证明：直线的斜率为定值.

7 . 已知椭圆：的离心率为，、分别是其左、右焦点，若是椭圆上的右顶点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（与不重合），问直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

8 . 已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．

9 . 已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值．

10 . 已知椭圆与直线交于两点，且当时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上､下顶点分别为，若点在直线上，证明：点在直线上.