【推荐1】过椭圆：的左焦点作其长轴的垂线与的一个交点为，右焦点为，若.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若椭圆上存在点使得，求椭圆的方程.

【推荐2】已知椭圆：的离心率为，且椭圆与椭圆：在第一、二、三、四象限分别交于，，，四点，顺次连接，，，四点得到一个正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线：与直线：交于点，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

【推荐3】如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.
(1) 求该椭圆的离心率；
(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.

【推荐1】已知双曲线，若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，且（为坐标原点）.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若直线不经过双曲线的右顶点，且以为直径的圆经过点，证明直线恒过定点，并求出点的坐标.

【推荐2】已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知双曲线的两条渐近线分别为，.
   
(1)求双曲线的离心率；
(2)如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐1】设椭圆的离心率，左焦点为，右顶点为，过点的直线交椭圆于两点，若直线垂直于轴时，有
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.

【推荐2】已知椭圆：经过点，离心率为.　
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过坐标原点作直线交椭圆于、两点，过点作的平行线交椭圆于、两点.
①是否存在常数，满足？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由；
②若的面积为， 的面积为，且，求的最大值.

【推荐3】已知点为椭圆上一点，且的离心率为.
（1）求的标准方程；
（2）若为上第二象限内一点，点关于直线的对称点为，直线与交于另一点，为坐标原点，求证.

【推荐1】平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点．
①若直线过椭圆的右焦点，记三条边所在直线的斜率的乘积为，求的最大值；
②若直线的斜率为，试探究是否为定值，若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；
（3）连接，试探索当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.