1 . 对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．
(1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系；
(2)设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程；
(3)点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．

2 . 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点．
①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．

3 . 在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线.
(1)证明：，的交点在直线上;
(2)求直线围成的三角形面积的最小值.

4 . 已知定点，圆：，过点的直线交圆于、两点，过点作直线交于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)（i）曲线上有两个点、，直线和的斜率之积为1，问是否存在实数，使得.
（ii）在（i）的条件下，设的斜率为，已知，求的最小值.

5 . 如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设为大圆上任意一点，连接交小圆于点，设，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点．
   
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)点分别是轨迹上两点，且，求面积的取值范围．

6 . 在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线与l的斜率乘积为．

(1)求证：直线过定点，并求此定点D的坐标；
(2)过M作l的垂线交椭圆于A，B两点，过D作l的平行线交直线于H，记的面积为S，的面积为T．

①当取最大值时，求点P的纵坐标；

②证明：存在定点G，使为定值．

7 . 直线，与椭圆共有四个交点，它们逆时针方向依次为，则（       ）

A．

B．当时，四边形为正方形

C．四边形面积的最大值为

D．若四边形为菱形，则

8 . 已知椭圆，的上、下顶点是，，左，右顶点是，，点在椭圆内，点在椭圆上，在四边形中，若，，且四边形面积的最大值为．
(1)求的值．
(2)已知直线交椭圆于，两点，直线与交于点，证明：当变化时，存在不同于的定点，使得．

9 . 已知M，N为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为和的离心率．
(1)若．
（ⅰ）求的渐近线方程；
（ⅱ）过点的直线l交的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线相交于，两点，记A，B，，的坐标分别为，，，，求证：；
(2)从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

10 . 已知曲线：，焦点为､ ，，过的直线与交于两点，则下列说法正确的有（       ）

A．是的一条对称轴

B．的离心率为

C．对C上任意一点P皆有

D．最大值为