1 . 已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.

2 . 如图所示，已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在第二象限，，求的面积．

3 . 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的动直线与相交于，两点．
(1)求椭圆的方程．
(2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．

4 . 设椭圆的左，右焦点分别为，其离心率为，且点在C上.
(1)求C的方程；
(2)O为坐标原点，P为C上任意一点.若M为的中点，过M且平行于的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由.

5 . 已知点在圆上运动，过点作轴，垂足为，点在线段上，且满足.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若斜率为的直线经过点与曲线交于、两点，求的面积.

6 . 如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，．
   
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知的面积为，求a，b的值．

7 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点为坐标原点，点为椭圆的右焦点，斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，且均在轴的上方，记和的面积分别为，，若，求直线的方程.

8 . 已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

9 . （1）求与椭圆有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程；
（2）已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点交椭圆于、两点，求弦的长.

10 . 已知椭圆()的左、右焦点分别是，，点为的上顶点，点在上，，且.
（1）求的方程；
（2）已知过原点的直线与椭圆交于，两点，垂直于的直线过且与椭圆交于，两点，若，求.