1 . 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

2 . 已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．
（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；
（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

3 . 如图，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为左焦点，，分别为的右顶点，上顶点，且，．

（1）求椭圆的方程；
（2）过原点作斜率为的直线，交于，两点，求四边形面积的最大值．

4 . 设分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最小值为___________．

5 . 已知动点到点与点的斜率之积为，点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；
（2）若点为曲线上的一点，直线与直线分别交于两点，求线段长度的最小值．

6 . 已知椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于，两点，与交于点，四边形和的面积分别为，，求的最大值.

7 . 已知椭圆的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得.若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

8 . 已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点且长轴长为4．
求椭圆E的方程：
Ⅱ若A是椭圆E的左顶点，经过左焦点F的直线1与椭圆E交于C，D两点，求与的面积之差的绝对值的最大值为坐标原点

9 . 设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为．若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．
(1)求椭圆的方程和“相关圆”的方程；
(2)过“相关圆”上任意一点的直线与椭圆交于两点．为坐标原点，若，证明原点到直线的距离是定值，并求的取值范围.

10 . 已知两点、，直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，曲线上在第一象限的点的横坐标为，直线、与圆相切于点、，又、与曲线的另一交点分别为、，求的面积的最大值（其中点为坐标原点）．