1 . 已知椭圆：的左右顶点分别为，，过的直线与交于点，点在上，.
(1)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
(2)求面积的最大值.

2 . 在平面上．设椭圆，梯形的四个顶点均在上，且．设直线的方程为．

(1)若为的长轴，梯形的高为，且在上的射影为的焦点，求的值；
(2)设，，与的延长线相交于点，当变化时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

3 . 已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，右焦点为，O为坐标原点，OB的中点为D（D在的左方），．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点D且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

4 . 已知椭圆的离心率为，直线，左焦点F到直线l的距离为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆相交于A，B两点．C，D是椭圆T上异于A，B的任意两点，且直线AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．设直线AC，BC的斜率为，．
①求的值；
②求直线MN的斜率．

5 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为，过的直线与椭圆相交于两点，且的周长为8.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的动直线与椭圆相交于两点，直线的方程为.过点作于点，过点作于点.记的面积分别为，，.问是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

6 . 在平面直角坐标系中，已知点，，直线PA与直线PB的斜率乘积为，点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)分别过，做两条斜率存在的直线分别交于C，D两点和E，F两点，且，求直线CD的斜率与直线EF的斜率之积．

7 . 已知椭圆的离心率为，其左焦点为．

(1)求的方程；
(2)如图，过的上顶点作动圆的切线分别交于两点，是否存在圆使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．

8 . 已知椭圆C：的焦距长为，点在C上.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与C交于A、B两点（均异于点P），若直线PA，PB的斜率都存在，分别设为，，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由.

9 . 在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；
(2)设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

10 . 已知点，动点与点，连线的斜率之积为，过点的直线交点的轨迹于，两点，设直线和直线的斜率分别为和，记
(1)求点的轨迹方程
(2)是否为定值?若是，请求出该值，若不是，请说明理由．