1 . 在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点.
(1)求曲线的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)已知点，设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出值，若不存在，请说明理由.

2 . 如图，圆I的半径为4，圆心，G是圆I上任意一点，定点，线段GK的垂直平分线和半径IG相交于点H，当点G在圆上运动时，动点H运动轨迹为．

(1)求点H的轨迹的方程；
(2)设动直线与轨迹有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

3 . 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点作两条斜率为的直线分别交曲线于（异于）两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标．

4 . 已知椭圆分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且.当直线轴时，.

(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率分别为，问是否为定值?并证明你的结论；
(3)直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.

5 . 在平面直角坐标系中，已知点，，，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，，，设直线，，的斜率分别为，，．证明：为定值．

6 . 已知直线与椭圆交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点.
(1)证明：和均为定值；
(2)设线段的中点为，求的最大值.

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，离心率为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作直线与椭圆交于两点，
（i）若，求面积的取值范围；
（ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由.

8 . 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且在第一象限内，满足.
(1)求的平分线所在的直线的方程；
(2)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请说明理由；
(3)已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线与椭圆相交于，若四边形的面积最大时，求双曲线的标准方程.

9 . 已知椭圆经过，且离心率.

   

(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于四个点，若该两条直线的斜率分别为，且，求的面积；
(3)如图，在（2）的条件下，椭圆上一点，位于之间，求四边形面积的最大值.

10 . 已知椭圆过点，且离心率为，过右焦点的直线交椭圆于、两点，直线交轴于，过、分别作的垂线，交于、两点，为上除点的任一点．

(1)求椭圆的方程；
(2)求的值；
(3)设直线、、的斜率分别为、、，求的值．