1 . 已知A，B分别为椭圆的上下顶点，P为直线上的动点，且P不在椭圆上，与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，（C，D均不与椭圆E上下顶点重合）.
(1)证明：直线过定点；
(2)设（1）问中定点为Q，过点C，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总为等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

2 . 已知椭圆经过点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C的右顶点和上顶点分别为A，B，P为椭圆C上位于第三象限内的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，探究四边形ABNM的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

3 . 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率为，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，椭圆的左、右顶点分别为，，证明：直线与的交点在定直线上．

4 . 已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M为椭圆C的上顶点，点是椭圆C上两个不同的动点（不在y轴上），直线MA，MB的斜率分别为，，且，证明：直线AB过定点.

5 . 已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值；
(3)设和的面积分别为、，求的最大值．

6 . 已知椭圆C：（）的离心率为，左顶点A到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.

7 . 已知点，动点M满足，动点的轨迹记为.
(1)求的方程；
(2)若不垂直于轴的直线过点，与交于两点（点在轴的上方），分别为在轴上的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

8 . 已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上三个不同的动点（点不在轴上），满足，且与的周长的比值为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)判断是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

9 . 已知椭圆：的离心率为，上焦点到上顶点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，与定直线：交于点，设，，证明：为定值.

10 . 在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为．

(1)求的方程；
(2)过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．