1 . 已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为．
(1)求的标准方程；
(2)已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，证明：点在定直线上．

2 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直.

3 . 已知椭圆的离心率为，短轴的下端点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆上异于且不关于轴对称的两点，，的中点为，求证：点在定直线上运动.

4 . 已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆于两点，已知在点处切线相交于.
（1）求点的轨迹方程；
（2）①若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明为定值.
②四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.

5 . 如图，已知是椭圆的左、右焦点，椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点（不过点），且三角形的周长的最大值为8.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过焦点，在椭圆上取两点，连接，与轴的交点分别为，过点作椭圆的切线，当四边形为菱形时，证明：直线.