1 . 在平面直角坐标系中，对于直线和点、，记，若，则称点、被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点、被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．
(1)判断点是否被直线分隔并证明；
(2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线．

2 . 已知双曲线：的离心率为，左、右顶点分别为点满足．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线交于两点，直线（为坐标原点）与直线交于点．设直线的斜率分别为，，求证：为定值．

3 . 已知双曲线经过点（，1）
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

4 . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；
(2)设斜率为的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：．

5 . 过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.
(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；
(2)求线段的中点的坐标和.

6 . 已知双曲线的左，右焦点分别为，，离心率，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线与双曲线交于M，N两点，求证：．