1 . 已知双曲线：的实轴长为4，焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的下支交于，两点，在第四象限，直线与交于点，设直线，，的斜率分别为，，．证明：．

2 . 已知动点M到点，的距离之差的绝对值为，斜率为的直线l与点M的轨迹C交于A，B两点．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)若（O为坐标原点），点，记直线NA，的斜率分别为，，求的值．

3 . 已知双曲线的右焦点为F，双曲线C上一点关于原点的对称点为，满足.
(1)求的方程；
(2)直线与坐标轴不垂直，且不过点及点，设与交于、两点，点关于原点的对称点为，若，证明：直线的斜率为定值.

4 . 已知双曲线C：经过点，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：，试求和之间满足的关系式．

5 . 已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A₁、A₂，左、右两个焦点分别是F₁、F₂，P是双曲线上异于A₁、A₂的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（       ）

A．

B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值

C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个

D．△PF1F2的面积为

6 . 已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（       ）

A．恒成立

B．若，则

C．面积的最小值为1

D．对每一个确定的，若，则的面积为定值