1 . 双曲线上任意点到它的两条渐近线距离的乘积为定值，______．

2 . 从双曲线上任意一点引实轴的平行线，与它的渐近线相交于两点，则的值为______．

3 . 设双曲线：的一个焦点为，右顶点到的两渐近线的距离之积为.
（1）求双曲线方程；
（2）点是双曲线上的一个动点，过的右顶点引的两条渐近线的平行线与直线（为坐标原点）分别交于与两点.若，.试探求是否为定值，并说明理由.

4 . 已知双曲线的左右顶点分别为.直线和两条渐近线交于点,点在第一象限且,是双曲线上的任意一点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在点P使得为直角三角形？若存在,求出点P的个数；
(3)直线与直线分别交于点,证明：以为直径的圆必过定点.

5 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（1）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（2）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．