1 . 已知双曲线H：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，椭圆E以，为焦点，以为长轴．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)设椭圆E交y轴于，，过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求面积的最小值；
(3)设点满足．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明：为定值，并求出此定值．

2 . 已知以为焦点的椭圆过，记椭圆的另一个焦点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线是曲线的切线，且与直线和分别交于点，与轴交于点，求证：为定值.

3 . 已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.
   
(1)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；
(2)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.

4 . 已知点在双曲线C：上，过C的右焦点F的动直线l与C交于A，B两点．
(1)若点，分别为C的左、右顶点，Q为C上异于，的点，求（k表示斜率）的值；
(2)证明以为直径的圆恒过x轴上的定点，并求该定点的坐标．

5 . 已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．

(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
(3)若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．

6 . 点，是曲线C：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 已知F₁（－，0），F₂（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．

8 . 已知动圆与圆和圆都外切．
（1）证明动圆圆心M的轨迹C是双曲线的一支，并求其方程；
（2）若直线AB与轨迹C交于A，B两点．，记直线AQ和BQ的斜率分别为，，且，于点P．证明：存在点N，使得为定值．

9 . 在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.