1 . 已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；
(3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.

2 . 已知动圆与圆和圆都外切．
（1）证明动圆圆心M的轨迹C是双曲线的一支，并求其方程；
（2）若直线AB与轨迹C交于A，B两点．，记直线AQ和BQ的斜率分别为，，且，于点P．证明：存在点N，使得为定值．

3 . 在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.

4 . 如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.

（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.