1 . 已知直线与抛物线相交于两点，是坐标原点．
（1）求证：；
（2）若是抛物线的焦点，求的面积．

2 . 如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）.

(1)证明：动点在定直线上；
(2)作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值.

3 . 已知动点到点的距离比到直线的距离小，动点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于、两个不同点，且，证明：直线经过一个定点.

4 . 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.