1 . 已知动圆过定点，且与直线相切.
(1)求动圆圆心轨迹的方程；
(2)设过点的直线交轨迹于，两点，已知点，直线，分别交轨迹于另一个点，.若直线和的斜率分别为，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）设直线，的交点为，求线段长度的最小值.

2 . 如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．

(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．

3 . 设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上.

4 . 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，分别过两点作抛物线的切线，证明：直线的交点在抛物线的准线上.（友情提示：切线的研究用导数的几何意义）

5 . 已知抛物线，过抛物线的焦点作一条直线l与抛物线相交与两点A、B，以A、B为切点分别作抛物线的两条切线.
（1）求证这两条切线的交点P一定在定直线上，并求出该定直线的方程.
（2）若直线交椭圆于、两点，、分别是、的面积，求的最小值.

6 . 如图，已知抛物线，点，过点作直线交于两点.

（1）求证：；
（2）当时，求直线的方程.

7 . 已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.
（1）求抛物线E的方程；
（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.

8 . 在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.