1 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：.

2 . 设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，均在第四象限.若，求的值.

3 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求k的值；
(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.

4 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，且椭圆过椭圆的焦点．过点的直线l与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若存在斜率不为0的直线l，使得，求t的取值范围．

5 . 已知椭圆：（）的右焦点为，短轴长是长轴长的.

(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上的动点，过点作椭圆的切线，与直线交于点，若（为坐标原点）的面积为，求点的坐标.

6 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点是椭圆与轴负半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知斜率大于0的直线与椭圆有唯一的公共点，过点作直线的平行线交椭圆于点，若的面积为，求直线的方程.

7 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，点P是椭圆上的动点，且点P与点不重合，过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点M，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线的斜率分别为，且与直线分别交于点，
①求：的值；
②求证：以线段为直径的圆过左焦点，并求当圆的面积最小时的值．

8 . 如图，椭圆（）的离心率为，其短轴和长轴的端点分别为A，B，C，D，且.

(1)求椭圆的方程；
(2)P是椭圆上位于x轴上方的动点，直线，与直线l：分别交于G、H两点.若，求点P的坐标；
(3)直线，分别与椭圆交于E，F两点，其中点满足且.若面积是面积的5倍，求t的值.

9 . 已知平面直角坐标系中，点到抛物线准线的距离等于5，椭圆的离心率为，且过点

(1)求的方程；
(2)如图，过点作椭圆的切线交于两点，在轴上取点，使得，试解决以下问题：
①证明：点与点关于原点中心对称；
②若已知的面积是椭圆四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线的方程.

10 . 已知椭圆C：的右焦点为，离心率为，直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)求椭圆C的方程：
(2)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率.