1 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在直线上任取一点，设长轴上的两个顶点为，连接分别交椭圆于两点，证明：直线的交点在直线上.

2 . 已知椭圆E：的左顶点为A，设直线l交椭圆E于M、N两点，且以为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并且求出此定点的坐标.

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值；
(3)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围．

4 . 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，右准线与轴交于点.点是右准线上的一个动点（异于点），过点作椭圆的两条切线，切点分别为.已知.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线的斜率分别为，直线的斜率为，证明：.

5 . 如图，椭圆，圆，椭圆C的左、右焦点分别为．

(1)过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若，求的值；
(2)过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直．

6 . 已知动圆P过点，且与圆N：相切
(1)求圆心P的轨迹的方程；
(2)A，C为轨迹上两个动点且位于第一象限（不在直线上），直线AN，CN分别与轨迹交于B，D两点，若直线AD，BC分别交直线与E，F两点，求证；

7 . 已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称，证明：直线过定点.

8 . 如图，已知椭圆的方程为，，，，点是椭圆上任一点，是以为直径的圆．

(1)当的面积为时，求所在直线的方程；
(2)当与直线相切时，求的方程；
(3)求证：总与某个定圆相切．

9 . 已知点在圆上，，的坐标分别为，，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)为曲线上不同于的两点，直线分别经过点，求证：直线与直线的斜率之积为定值.