1 . 已知椭圆：()经过点，一个焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线()与轴交于点，与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

2 . 已知椭圆的离心率为，过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设左、右焦点分别为，经过右焦点F₂的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若，求直线l方程.

3 . 已知椭圆：的焦距为，其上下顶点分别为、，点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)点P的坐标为，过点A任意作直线与椭圆相交于M、N两点，设直线、、的斜率依次成等差数列，探究m、n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m、n的关系式，并证明；若不是，请说明理由．

4 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a>b>0)的离心率为，短轴长是2.

(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l₁，l₂，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N.设l₁的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，当，求k的取值范围．

5 . 已知椭圆的方程为 （ ）的离心率为 ，圆的方程为 ，若椭圆与圆 相交于 ， 两点，且线段 恰好为圆 的直径.
（1）求直线 的方程；
（2）求椭圆 的标准方程.

6 . 直线 与椭圆 相切的充要条件是__________．

7 . 已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点到直线的距离为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆下顶点为，直线（）与椭圆相交于不同的两点，当时，求的取值范围.