1 . 已知C为圆的圆心，P是圆C上的动点，点，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点．
(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；
(2)过点的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：相交于E，F两点，求的取值范围．

2 . 已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称，证明：直线过定点.

3 . 已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线交椭圆于，两点，O为坐标原点，若，求直线的方程.

5 . 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点．
(1)求过点F、O，并且与抛物线的准线相切的圆的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．

6 . 已知椭圆C的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在椭圆C上，，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知M是直线上的一点，是否存在这样的直线l，使得过点M的直线与椭圆C相切于点N，且以MN为直径的圆过点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由，

7 . 已知椭圆E：的离心率为，且过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)斜率为1的直线l与椭圆E交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为，求的面积．

8 . 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆，椭圆与是“相似椭圆”，且椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短半轴长为.
(1)当时，求椭圆的方程；
(2)若在椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围.

9 . 已知如图，长为，宽为的矩形，以为焦点的椭圆恰好过两点，

(1)求椭圆的标准方程；
(2)根据（1）所得椭圆的标准方程，若是椭圆的左右顶点，过点的动直线交椭圆与两点，试探究直线与的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.

10 . 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
(1)证明：；
(2)设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列；
(3)求（2）中数列的公差．