1 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，且过点．
（）求椭圆的标准方程．
（）、、、是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这条直线互相垂直，求证：为定值．

2 . 如图,直线与圆 相切，且与椭圆相交于两点.

(1)若直线恰好经过椭圆的左顶点,求弦长；
(2)设直线的斜率分别为,判断是否为定值,并说明理由；
(3)求面积的最小值.

3 . 已知椭圆经过点，的四个顶点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上是否存在相异两点，使其满足:①直线与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在轴上，若存在，求出的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由.

4 . 已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.

5 . 如图，设椭圆（a＞1）.

   

（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（Ⅱ）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

6 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一条经过点且方向向量为的直线交椭圆于两点，交轴于点，且．

（1）求直线的方程；
（2）求椭圆长轴长的取值范围.

7 . 设直线与椭圆相交于两个不同的点.
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求

8 . 已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，椭圆与直线相交于两个不同的点，线段的中点为，若直线的斜率为，求△的面积.