1 . 已知椭圆的长轴长为，且其离心率小于为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，的面积的最大值为，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，过点且与平行的直线与直线的交点为，设直线所成角为，求的最大值.

2 . 已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值；
(3)设和的面积分别为、，求的最大值．

3 . 设动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)点，在曲线上且，点满足且，求直线的方程．

4 . 已知抛物线C₁：与椭圆C₂：（）有公共的焦点，C₂的左､右焦点分别为F₁，F₂，该椭圆的离心率为.

(1)求椭圆C₂的方程；
(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C₂顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF₁Q与∠PF₁R互为补角，求△F₁QR面积S的最大值.

6 . 在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足，记点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设点A，B，C是曲线E上不同的三点，若坐标原点O是的重心，求证：的面积为.

7 . 已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______．

8 . 如图，椭圆：（）的离心率，左、右焦点分别为，，过，分别作两条相互垂直的直线，，分别交椭圆于，，四点，，的交点为，三角形面积的最大值为1.

（1）求椭圆的方程；
（2）当四边形的面积最小时，求点的坐标.

9 . 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

10 . 如图，椭圆：（）的离心率，左、右焦点分别为，，过，分别作两条相互垂直的直线，，分别交椭圆于，，，四点，，的交点为，三角形面积的最大值为1.

（1）求椭圆的方程；
（2）当四边形的面积最小时，求点的坐标.