1 . 已知椭圆，离心率为分别为椭圆的左､右顶点，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)当直线过椭圆的左焦点以及上顶点时，直线与椭圆交于另一点，求此时的弦长.
(3)设直线过点，且与轴垂直，为直线上关于轴对称的两点，直线与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面积之差取得最大值时，求直线的方程.

2 . 已知椭圆的左右焦点为为其上顶点，正三角形
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于的面积是，求椭圆的方程．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，短轴长是2．

(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为，．设的斜率为（），的面积为，当，求的取值范围．

4 . 已知椭圆（）的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，两点，直线的斜率为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)椭圆右顶点为，为椭圆上除左右顶点外的任意一点，求证：为定值，并求出这个定值；
(3)若的外接圆在处的切线与椭圆交另一点于，且的面积为，求椭圆的方程．

5 . 已知椭圆的右顶点为A，下顶点为，上顶点为，椭圆的离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于点（不在坐标轴上），当时，求的面积.

7 . 已知椭圆的离心率，短轴长为，椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆位于轴上方的部分，
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，求弦的长度；
(3)若直线与轴交于点，点是轴上一点，且满足，直线与椭圆交于点.是否存在直线，使得的面积为2，若存在，求出直线的斜率，若不存在，说明理由.

8 . 已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.

9 . 设椭圆的右顶点为，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程；
(3)是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

10 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆上顶点，点是粚圆上异于顶点的任意一点，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线交轴于点.
（i）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；
（ii）在轴的正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.