1 . 已知椭圆：.圆的圆心在椭圆上.点到椭圆的右焦点的距离为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，，且交椭圆于，两点，直线交圆于，两点，且为的中点，求的面积的取值范围.

2 . 已知椭圆的一个顶点为抛物线的焦点，点在椭圆上且，关于原点的对称点为，过作的垂线交椭圆于另一点，连交轴于.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证:轴；
（3）记的面积为的面积为，求的取值范围.

3 . 已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.
求椭圆的方程；
过椭圆内一点，斜率为的直线交椭圆于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围.

4 . 已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同两点，与轴交于点，且满足,若，求实数的取值范围.

5 . 椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若的倾斜角为时，是等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求中边上中线长的取值范围.

6 . 已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，若过点的直线与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数的取值范围．