1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点，，求的取值范围.

2 . 已知动直线垂直于轴，与椭圆交于，两点，点在直线上，．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）直线与椭圆相交于，与曲线相切于点，为坐标原点，求的取值范围．

3 . 如图，椭圆的右焦点为，过焦点，斜率为的直线交椭圆于、两点（异于长轴端点），是直线上的动点．

（1）若直线平分线段，求证：．
（2）若直线的斜率，直线、、的斜率成等差数列，求实数的取值范围．

4 . 椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，为旋杆上的一点，且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内做往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.

（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的两个不同点，若直线、的斜率之积为（为坐标原点），是的中点，连接并延长椭圆于点，设，求的值.

5 . 已知椭圆的左右焦点分别为、，若点在椭圆上，且为等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，若点在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围.

6 . 已知、是椭圆的左、右两个焦点，过的直线与交于、两点（在第一象限），的周长为，的离心率为.
（1）求的方程；
（2）若、的中点为（不与重合），在线段上是否存在点，使得？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

7 . 定义：过椭圆上的一点（不与长轴的端点重合）与椭圆的两个焦点确定的三角形称为椭圆的焦点三角形；已知过椭圆上一点P（不与长轴的端点重合）的焦点三角形，且．

（1）求证：焦点三角形的面积为定值；
（2）已知椭圆的一个焦点三角形为，；
①若，求点的横坐标的范围；
②若，过点的直线与轴交于点，且，记，求的值．

8 . 如图，椭圆的右焦点为，过焦点，斜率为的直线交椭圆于、两点（异于长轴端点），是直线上的动点．

（1）若直线平分线段，求证：．
（2）若直线的斜率，直线、、的斜率成等差数列，求实数的取值范围．

9 . 已知点F₁为椭圆E：(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形，直线与椭圆E有且仅有一个交点M.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|²＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．

10 . 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为坐标原点.
（1）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；
（2）若，试问椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.