1 . 已知椭圆过点分别是椭圆C的左右顶点，且直线与直线的斜率之积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若直线与直线斜率之积为1，试问直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．

2 . 已知，，顺次是椭圆：的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆的离心率，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线过点，直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆经过点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

3 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，右准线的方程为，A为椭圆C的左顶点，、分别为椭圆C的左，右焦点．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且．若，求t的值．

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

5 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线l与椭圆相交于、两点，与轴相交于点，与轴的正半轴相交于点，为线段的中点，若为定值，请判断直线l是否过定点，求实数的值，并说明理由.

6 . 已知椭圆：的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线过点且与椭圆相交于不同的两点，，直线与x轴交于点，是直线上异于的任意一点，当时，直线是否恒过轴上的定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且 ，探究：直线是否过定点，并说明理由.

8 . 已知椭圆的离心率为，过右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于和四点.设的中点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.

9 . 如图所示，椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右准线方程为x＝4，过点P(0，4)作关于y轴对称的两条直线l₁，l₂，且l₁与椭圆交于不同两点A，B，l₂与椭圆交于不同两点D，C.

(1) 求椭圆M的方程；
(2) 证明：直线AC与直线BD交于点Q(0，1)；
(3) 求线段AC长的取值范围．

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）记椭圆的左顶点为，过点作直线，分别交椭圆于点，(异于点)，当时，求证：直线过定点.