1 . 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
(1)求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
(2)若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的“伴随圆”相交于两点，求弦的长；
(3)在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作两条直线，使得与椭圆都只有一个公共点，且分别与椭圆的“伴随圆”交于两点.证明：直线过原点.

2 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且离心率为，设椭圆的右顶点为，点，是椭圆上异于，的两个动点，记直线，的斜率分别为，，且．
   
(1)求证：直线过定点；
(2)设直线，相交于点，记，的面积分别为，，求的取值范围．

3 . 已知椭圆的长轴长为8，是坐标原点，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，且直线，的斜率之和为．
①求直线经过的定点的坐标；
②求的面积的最大值．

4 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，.

(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.

5 . 已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．

6 . 设曲线E是焦点在x轴上的椭圆，左、右焦点分别是，，且，M是曲线上的任意一点，且点M到两个焦点距离之和为4．
（1）求E的标准方程；
（2）设椭圆上，判断以（为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；
（3）设点为曲线E上确定的一个点，若直线：与曲线E交于两点C，D（C，D异于点N），且满足，请问直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

7 . 已知椭圆过点，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的方程为，求的值；
（3）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标.

8 . 已知曲线C上任意一点P到直线的距离等于它到定点的距离的2倍，过点F的直线与曲线C交于A、B两点，直线BH与直线l垂直，垂足为H．
（1）求曲线C的方程；
（2）若，求直线的斜率；
（3）证明：直线AH经过x轴上的定点．

9 . 已知：椭圆的焦距为2，且经过点，､是椭圆上异于的两个动点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.

10 . 已知双曲线的两焦点为，为动点，若.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若，设直线过点，且与轨迹交于两点，直线与交于点.试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.