1 . 已知椭圆C：.
(1)求椭圆C的离心率和长轴长；
(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.

2 . 设椭圆，过点A的直线AP，AQ分别交C于相异的两点P，Q，直线PQ恒过点B.
(1)证明：直线AP，AQ的斜率之和为；
(2).直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆C：（）的离心率，左､右焦点分别为，，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知圆M：的切线l与椭圆相交于A，B两点，那么以为直径的圆是否通过定点？假如是求出定点的坐标；假如不是请说明理由.

4 . 已知椭圆的离心率为，以其左顶点、上顶点及左焦点为顶点的三角形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，且，证明：存在定点，使得点到直线的距离为定值．

5 . 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足直线AE与BE的斜率之积为，记E的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线．
(2)过点的直线交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为G，过点O作，垂足为M．证明：存在定点N，使得为定值．

6 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，其离心率为，P为椭圆C上一动点，面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在定点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 在圆上任取点，过点作轴的垂线，是垂足，点满足： .
(1)求点的轨迹方程；
(2)若，过点作与坐标轴不垂直的直线与点的轨迹交于、两点，点是点关于轴的对称点，试在轴上找一定点，使、、三点共线，并求与面积之比的取值范围.

8 . 已知椭圆的右焦点为，与轴不重合的直线过焦点，与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，，的延长线分别交直线于，两点，证明：以为直径的圆过定点.

9 . 在平面直角坐标系中，动点M到直线的距离等于点M到点的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知斜率为的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点，设直线的斜率分别为，求的值；
(3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以为直径的圆恰过Q点，试判断直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．

10 . 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆的右焦点与点关于直线对称，问：是否存在过右焦点的直线与椭圆交于两点，使的重心恰好在直线上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.