1 . 已知椭圆的右焦点为，离心率．
(1)若为椭圆上一动点，证明到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出该定值；
(2)设，过定点且斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在一点，使得轴始终平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点．当垂直于长轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆经过点，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．

4 . 已知椭圆：（）的离心率，且短轴长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点为椭圆的左焦点，斜率存在的直线与椭圆交于，两点，若直线上任意一点到直线和的距离始终相等．
①试证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
②求面积的最大值．

5 . 已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与其一条渐近线平行.
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A､B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆的长轴是短轴的3倍，左、右焦点分别为，，点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，是否在x轴正半轴存在点，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

8 . 已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且轴，，为垂足，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于两点，为轴正半轴上一点，且，求点的坐标．

9 . 已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上的任意一点，的最大值为，最小值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，若，点在上，且.试问是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

10 . 在中，已知，，交于点，为中点，满足，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程：
（2）过点作直线交曲线于，两点，试问以为直径的圆是否恒过定点？若过定点求出定点，若不过定点说明理由.