1 . 已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1.
(1)求点的坐标.
(2)过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点.
（ⅰ）证明：点在定直线上；
（ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.

2 . 如图，已知双曲线的一条渐近线与轴夹角为，点在上，过的两条直线的斜率分别为，且交于交于，线段与的中点分别为

(1)求双曲线的方程；
(2)求证：存在点，使为定值.

3 . 如图，长轴长为4的椭圆的左顶点为A，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，与轴分别交于，两点，当直线的斜率为时，.

(1)求椭圆的方程.
(2)试问是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为， 离心率为为上一点，为坐标原点，轴，且．
(1)求的标准方程;
(2)若直线与交于两点，过点作直线的垂线，垂足为，当直线与轴的交点为定点时，求的值．

5 . 已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.

6 . 已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆相交于不同的两点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标，并求出此常数；若不存在，请说明理由.

7 . 已知长轴长为的椭圆过点,点是椭圆的右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在轴上的定点,使得过点的直线交椭圆于两点，设为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.

8 . 已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于、两点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点、，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形.若存在，求点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

9 . 定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆E₁，E₂，它们的长短半轴长分别为a₁，b₁和a₂，b₂，若满足a₂=a₁^k，b₂=b₁^k（k∈Z，k≥2），则称E₂为E₁的k级相似椭圆，已知椭圆E₁:=1，E₂为E₁的2级相似椭圆，且焦点共轴，E₁与E₂的离心率之比为2：．
（Ⅰ）求E₂的方程；
（Ⅱ）已知P为E₂上任意一点，过点P作E₁的两条切线，切点分别为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．
①证明：E₁在A(x₁，y₁)处的切线方程为=1；
②是否存在一定点到直线AB的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．

10 . 在直角坐标系xOy上取两个定点A₁（，0），A₂（，0），再取两个动点N₁（0，m），N₂（0，n），且mn＝2.
（1）求直线A₁N₁与A₂N₂交点M的轨迹C的方程；
（2）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若（λ＞1），求证：.