1 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
求椭圆的标准方程；
设直线l经过点且与椭圆C交于不同的两点M，N试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值，若不存在，请说明理由．

2 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在一个定点使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，也请说明理由．

3 . 已知椭圆的焦距为，离心率为，其右焦点为，过点作直线交椭圆于另一点.
（Ⅰ）若，求的面积；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.

4 . 如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8

（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由

5 . 已知椭圆：过点，且离心率为，直线：与椭圆交于、两点.
（1）求椭圆方程；
（2）若在轴上存在点，使得是正三角形，求.

6 . 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点，在轴上，是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

8 . 已知椭圆的右焦点为，过且与轴垂直的弦长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作直线与椭圆交于两点，问：在轴上是否存在点，使为定值，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若的周长为，且点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于，的任意一点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆过点.

10 . 已知椭圆经过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上的点，直线与（为坐标原点）的斜率之积为．若动点满足，试探究是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．