1 . 已知椭圆C：的右焦点为，过的直线与C交于两点.当与轴垂直时，线段长度为1. 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若对任意的直线，点总满足，求实数的值.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最大值.

2 . 已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点，作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

3 . 设椭圆的方程为，点为坐标原点，点，的坐标分别为，，，直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

4 . 已知直线，椭圆分别为椭圆的左、右焦点.
(1)当直线过右焦点时，求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，若点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.

5 . 已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若经过的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得为定值？若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆的中心为原点，离心率,其中一个焦点的坐标为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为.若点满足：其中是上的点.直线的斜率之积为.试说明:是否存在两个定点,使得为定值？若存在,求的坐标；若不存在，说明理由.

7 . 已知椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于A, B两点，四边形为平行四边形，为坐标原点，且，求直线的方程．