1 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，短轴的上端点为P，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点且不与y轴垂直的直线与椭圆C交于M，N两点，是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆短轴的两个端点与椭圆的右焦点构成面积为1的等腰直角三角形.
（1）求椭圆的离心率及其标准方程；
（2）过点的 直线交椭圆于P，Q两点，线段的中点为M，问在y轴上是否存定点D，使得？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由.

3 . 已知圆，圆的弦过点，连接，，过点且与平行的直线与交于点，记点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于，两点，试探究是否存在定点，使得为定值.

4 . 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（       ）

A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8

B．椭圆上存在点，使得

C．椭圆的离心率为

D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3

5 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，点P是椭圆上的动点，且的面积的最大值为1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且l与直线相交于Q．点T是x轴上一点，若总有，求T点坐标．

6 . 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．