1 . 在平面直角坐标系中，点为椭圆：的右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线、斜率的乘积为，两直线，分别与椭圆交于、、、四点，求四边形的面积.

2 . 已知椭圆离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，若点的坐标为，则是否为定值？若是，求该定值，若不是，请说明理由．

3 . 椭圆的一个焦点为，离心率．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）定点，为椭圆上的动点，求的最大值，并求出取最大值时点的坐标；
（3）定直线，为椭圆上的动点，证明点到的距离与到定直线的距离的比值为常数，并求出此常数值．

4 . 已知椭圆过点,直线与椭圆相交于两点(异于点).当直线经过原点时,直线斜率之积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线斜率之积为,求的最小值.

5 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆E：（）过点，其离心率等于.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足，且直线与椭圆E交于点P.求证：为定值.

6 . 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为，且椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点、，点，试探究：直线与的斜率之积是否为常数.

7 . 已知椭圆，动圆：（圆心为椭圆上异于左右顶点的任意一点），过原点作两条射线与圆相切，分别交椭圆于，两点，且切线长最小值时,.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）判断的面积是否为定值，若是，则求出该值；不是，请说明理由．

8 . 已知椭圆的左、右两焦点分别为,椭圆上有一点与两焦点的连线构成的中，满足
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点与点关于原点对称，设直线的斜率分别为，且，求的值.

9 . 已知椭圆E：的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，且｜AB|=1.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P、Q是椭圆E上两点，P在第一象限，Q在第二象限，且OP⊥OQ,其中O是坐标原点.
当P、Q运动时，是否存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切？若存在，请求出圆O的方程；若不存在，请说明理由.

10 . 已知焦点在轴上的椭圆（），焦距为，长轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点.
①证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值；
②求的最小值.